Rubrik:  Fuchsschwanz des Tages

Auslosung unter der Lupe

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Fast jeder der das Abitur hinter sich gebracht oder einen der 3425 Studiengänge belegt hat, der ein Mindestmaß an Statistik oder Wahrscheinlichkeitsrechnung erfordert, wird höchstwahrscheinlich (haha…) mit Grauen daran zurückdenken. Auch ich habe gute vier Jahre und drei extrem bescheidene Prüfungsergebnisse gebraucht, bis ich mich das erste Mal wirklich darauf eingelassen habe.

Doch hat man diesen Schritt erst einmal hinter sich gebracht, lässt sich auch im Alltag zu relativ interessanten Erkenntnissen gelangen. Warum, zum Beispiel, hatten während meiner Schulzeit in fast jedem Jahr zwei Mitschüler am gleichen Tag im Jahr Geburtstag, habe ich mich in jüngeren Jahren öfter gefragt? In einer normalen Schulklasse finden sich ca. 20-30 Schüler. Wie kann das bei einer so geringen Anzahl an möglichen verschiedenen Geburtstagen und 365 Tagen im Jahr angehen?

Die Antwort auf die Frage liefert das Geburstagsparadoxon. Es beschreibt das Phänomen sich addierender Einzelwahrscheinlichkeiten zu einer von den meisten Menschen nicht erwarteten Gesamtwahrscheinlichkeit. Aber genug des Geschwafels, zurück zu den Kindern – Ignoriert man den 29. Februar, so liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Schulklasse von 23 Kindern zwei von ihnen am gleichen Tag ihren Geburtstags feiern (dies bedeutet nicht zwingend, dass sie am gleichen Tag geboren wurden) bereits über 50%. Ab einer betrachteten Gruppegröße von 50 Personen steigt sie gar auf 97% und somit an Sicherheit grenzende Wahrscheinlichkeit an.

Im nächsten Schritt möchte ich diese Logik auf ein sehr viel aktuelleres Phänomen übertragen, welches in einigen Tagen auftreten könnte, genauer genommen auf die Fussball-Champions-League und das Aufeinandertreffen der deutschen Teilnehmer. Bayern München, Schalke 04 und Borussia Dortmund haben neben Mannschaften, die allesamt um Welten besser sind als die des HSV eines gemeinsam – gute Chancen, in das Viertelfinale besagten Wettbewerbs einzuziehen, oder im Fall von Dortmund, dieses Ticket bereits sicher.

Doch wie wahrscheinlich ist nun ein aus deutscher Sicht möglichst zu vermeidendes Aufeinandertreffen der drei deutschen Teams, sind diese erst einmal für die Runde der letzten Acht qualifiziert? Sie liegt ebenfalls bei fast 50%. Dazu sei zunächst angemerkt: ab dem Viertelfinale gibt es keinerlei Restriktionen mehr bezüglich der möglichen Paarungen, d.h. jedes Team kann aus seiner Sicht einem von sieben potenziellen Gegner zugelost werden.

Nehmen wir nun Dortmund als Ausgangspunkt: 2 der 7 (8 minus Dortmund selbst) möglichen Gegner sind deutsche Teams, namentlich Bayern und Schalke. Demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit, auf eines dieser Teams zu treffen 2 aus 7 oder 2/7.

Für den Fall, dass Dortmund ein nicht-deutscher Gegner zugelost wird, ergibt sich nun folgendes Szenario: Aus der Sicht von Schalke kommen nun insgesamt noch 5 mögliche Gegner in Frage (8 minus Schalke, minus Dortmund und das bereits zugeloste nicht-deutsche Team). Die Wahrscheinlichkeit auf das dritte deutsche Team, also Bayern zu treffen, beträgt somit 1 aus 5 oder 1/5.

Daraus ergibt sich eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 2/7 + 1/5 = 10/35 + 7/35 = 17/35. Wer einen Taschenrechner zur Hand hat oder auf Kopfrechnen steht, der sieht – der Wert beträgt abgerundet 48%. Das identische Ergebnis gilt für Schalke oder Bayern als Ausgangspunkt.

Beruhigend ist dabei – man kann sich mit Mathematik und Statistik die langwierige Reisezeit vertreiben. Beunruhigend ist im Gegenzug – das was Fußballdeutschland zu vermeiden hofft, wird also nahezu so sicher Eintreten wie der Kopfwurf einer Münze.

 


verfasst von Ole  

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